Réponses à un QCM au BAC

Un candidat au baccalauréat se présente à l'épreuve de spécialité mathématiques. L'exercice 1 du sujet de mathématiques est un questionnaire à choix multiples (QCM), composé de \(5\) questions comportant chacune quatre propositions de réponses, \(A\) , \(B\) , \(C\) ou \(D\) .

Pour chacune des questions, une seule des réponses est correcte. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

On considère les « mots » qu'il est possible de former avec les cinq réponses, données dans l'ordre à chacune des questions. Par exemple, si le candidat répond « 1. \(B\) . 2. \(A\) . 3. \(B\) . 4. \(A\) . 5. \(C\) . », on peut noter cette liste de réponses « \(BABAC\) ».

1. a. Combien y a-t-il de « mots » réponses possibles ?
    b. Combien de « mots » réponses commencent par la réponse \(B\)  ?
    c. Combien de « mots » réponses contiennent deux fois la réponse \(A\) ?
    d. Combien de « mots » réponses contiennent deux \(A\) , deux \(D\) et un \(B\) ?

2. On suppose que le candidat répond au hasard à toutes les questions de l'exercice et que chaque question de l'exercice est indépendante des autres. On note \(X\) la variable aléatoire correspondant au nombre de bonnes réponses à l'issue des cinq réponses.
On donnera les valeurs exactes des probabilités.
    a. Quelle est la loi suivie par \(X\) ? Justifier.
    b. Quelle est la probabilité que le candidat n'ait aucune bonne réponse ?
    c. Quelle est la probabilité que le candidat ait exactement deux bonnes réponses ?

3. Question avec prise d'initiative. Toute trace de recherche, même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation. On suppose que, pour cet exercice, qui est au total sur \(5\) points, le candidat reçoit :

• \(1\) point par bonne réponse ;
  
• \(0\) point s'il ne répond pas à la question ;
  
• \(- 0,\!5\) point par mauvaise réponse ou s'il donne plusieurs réponses.

On suppose que le candidat décide de répondre au hasard à chacune des questions et qu'il donne forcément une réponse à chacune d'entre elles.
On note \(T\) la variable aléatoire correspondant à son total de points, éventuellement négatif, à cet exercice.

Calculer l'espérance de la variable \(T\) et indiquer si la stratégie de réponse au hasard est payante pour le candidat.